Laplace 方程、调和函数及其基本性质

#Laplace方程 #调和函数

调和函数

Laplace 方程的解称为调和函数.确切地说

定义:调和函数

如果函数 u 二阶连续可微,且 \laplaceu=0,则称 uΩ 上的调和函数.

调和函数在变换下保持

u 为调和函数,则以下函数也是调和的:

平均值性质

平均值性质与第二平均值性质

已知 uC(Ω),则

  1. u 满足平均值性质,如果对任意闭球 Br(x)Ωu(x)=1|Br(x)|Br(x)u(y)\dy;
  2. u 满足第二平均值性质,如果对任意闭球 Br(x)Ωu(x)=1|Br(x)|Br(x)u(y)dSy.
第一平均值性质与第二平均值性质等价

考虑极坐标,我们有

Rnf(x)\dx=0+\drBr(x)f(y)\dSy.\d\drBr(x0)f(x)\dx=B(x0,r)f(y)\dSy.

因此,第一平均值性质与第二平均值性质等价.

定理:调和函数满足平均值性质

uC2(Ω) 是调和函数,则其满足平均值性质.

定理:满足平均值性质的函数必是光滑调和函数

uC(Ω) 满足平均值性质,则它光滑,且为调和函数.

证明

第一步:二阶连续可微时

先证明 uC2(Ω) 时,u 满足平均值性质

第二步:连续时

考虑用光滑函数和 u 卷积.令 φC0(B1(0)) ,且在 B12(0) 上恒为 1,且 Rnφ(x)\dx=1φ(x)=φ(|x|) (径向对称),则

1=Rnφ(x)\dx=0+|ω|=1φ(rω)r2dS(ω)\dr=0+|ω|=1φ(r)r2S(ω)dr=4π0+φ(r)r2\dr.

φε(x)=1εnφ(xε),则 \suppφεBε(0),且 Rnφε(x)\dx=1.

Claim

u=uφεε 充分小.

事实上,

Rnφε(xy)u(y)dy=\suppBε(x)φε(xy)u(y)\dy=Bε(x)1εnφ(yxε)u(y)\dy=yx=εz|z|<11εnφ(z)u(x+εz)εn\dz=|z|<1φ(z)u(x+εz)\dz=\suppRnφ(z)u(x+εz)\dz=0+|ω|=1φ(r)u(εrω)r2\dSω\dr=0+φ(r)r2|ω|=1u(x+εrω)\dSω\dr=平均值0+φ(r)r24πu(x)\dr=u(x).

由 Claim,从而 uφε=u,而 φε 光滑,故 u 光滑.

定理:Harnack 不等式

VΩ 上连通紧集, 一个仅与距离 d(V,Ω) 和维数 n 有关的 C>0,使得

supVuCinfVu.

u 非负调和.特别地,x,yV,有

1Cu(y)u(x)Cu(y).

证明

第一步:对特定距离,取出一个满足条件的开球

r<14d(V,Ω)x 给定,则 yBr(x)Br(x)B2r(y)Ω

由平均值性质

u(y)=1|B2r(y)|B2r(y)u(z)\dz=1|B2r(y)|B2r(y)u(z)\dz1|B2r(y)|Br(x)u(z)\dz=12nu(x).

第二步:定义域是紧集,取有限开覆盖

所有的 Br(x) 构成 V 的开覆盖,存在有限子覆盖

Vi=1NB(xi,r).

由连通,取一组球将一个点连到另一个点,由第一步知 u(y)12nNu(y)

梯度估计

uC(BR(x0)) 调和,则 |u(x0)|nRmaxBR(x0)u

证明

u 调和,则光滑,从而 ui 也调和.由平均值定理

ui=1|BR(x)|BR(x)ui(y)\dy=u(i)=ux^i1|BR(x)|BR(x)u(i)dy=散度定理1|BR(x)|BR(x)u(i)dS=法向量式1|BR(x)|BR(x)u(i)ni\dS=1|BR(x)|BR(x)|u|dS|BR(x)||BR(x)|max|u|3Rmaxu.

2 维同理.

推论:Liouville 定理

uRn 上的有界调和函数,则 u 为常数.

证明:|u|limR+CRmaxu