#Laplace方程 #调和函数
调和函数
Laplace 方程的解称为调和函数.确切地说
如果函数 二阶连续可微,且 ,则称 为 上的调和函数.
调和函数在变换下保持
若 为调和函数,则以下函数也是调和的:
- ;
- ;
- ,这里 为旋转变换.
平均值性质
平均值性质与第二平均值性质
已知 ,则
- 称 满足平均值性质,如果对任意闭球 有
- 称 满足第二平均值性质,如果对任意闭球 有
考虑极坐标,我们有
因此,第一平均值性质与第二平均值性质等价.
定理:调和函数满足平均值性质
若 是调和函数,则其满足平均值性质.
定理:满足平均值性质的函数必是光滑调和函数
若 满足平均值性质,则它光滑,且为调和函数.
证明
第一步:二阶连续可微时
先证明 时, 满足平均值性质
第二步:连续时
考虑用光滑函数和 卷积.令 ,且在 上恒为 ,且 , (径向对称),则
令 ,则 ,且 .
事实上,
由 Claim,从而 ,而 光滑,故 光滑.
定理:Harnack 不等式
为 上连通紧集, 一个仅与距离 和维数 有关的 ,使得
非负调和.特别地,,有
证明
第一步:对特定距离,取出一个满足条件的开球
取 , 给定,则 , .
由平均值性质
第二步:定义域是紧集,取有限开覆盖
所有的 构成 的开覆盖,存在有限子覆盖
由连通,取一组球将一个点连到另一个点,由第一步知 .
梯度估计
若 调和,则 .
证明
若 调和,则光滑,从而 也调和.由平均值定理
散度定理法向量式2 维同理.
推论:Liouville 定理
若 为 上的有界调和函数,则 为常数.
证明: .