Laplace 方程、调和函数及其基本性质

#Laplace方程 #调和函数

调和函数

Laplace 方程的解称为调和函数．确切地说

定义：调和函数

如果函数 $u$ 二阶连续可微，且 $\laplace u = 0$ ，则称 $u$ 为 $Ω$ 上的调和函数．

调和函数在变换下保持

若 $u$ 为调和函数，则以下函数也是调和的：

$u (x + x_{0}), \forall x_{0}$ ；
$u (λ x), \forall λ > 0$ ；
$u (O x)$ ，这里 $O$ 为旋转变换．

平均值性质

平均值性质与第二平均值性质

已知 $u \in C (Ω)$ ，则

称 $u$ 满足平均值性质，如果对任意闭球 $B_{r} (x) \subset Ω$ 有 $u (x) = \frac{1}{| B_{r} (x) |} \int_{B_{r} (x)} u (y) \d y;$
称 $u$ 满足第二平均值性质，如果对任意闭球 $B_{r} (x) \subset Ω$ 有 $u (x) = \frac{1}{| \partial B_{r} (x) |} \int_{\partial B_{r} (x)} u (y) d S_{y} .$

第一平均值性质与第二平均值性质等价

考虑极坐标，我们有

\int_{R^{n}} f (x) \d x = \int_{0}^{+ \infty} \d r \int_{\partial B_{r} (x)} f (y) \d S_{y} .

\frac{\d}{\d r} \int_{B_{r} (x_{0})} f (x) \d x = \int_{\partial B (x_{0}, r)} f (y) \d S_{y} .

因此，第一平均值性质与第二平均值性质等价．

定理：调和函数满足平均值性质

若 $u \in C^{2} (Ω)$ 是调和函数，则其满足平均值性质．

定理：满足平均值性质的函数必是光滑调和函数

若 $u \in C (Ω)$ 满足平均值性质，则它光滑，且为调和函数．

证明

第一步：二阶连续可微时

先证明 $u \in C^{2} (Ω)$ 时， $u$ 满足平均值性质

第二步：连续时

考虑用光滑函数和 $u$ 卷积．令 $φ \in C_{0}^{\infty} (B_{1} (0))$ ，且在 $B_{\frac{1}{2}} (0)$ 上恒为 $1$ ，且 $\int_{R^{n}} φ (x) \d x = 1$ ， $φ (x) = φ (| x |)$ （径向对称），则

1 = \int_{R^{n}} φ (x) \d x = \int_{0}^{+ \infty} \int_{| ω | = 1} φ (r ω) r^{2} d S (ω) \d r = \int_{0}^{+ \infty} \int_{| ω | = 1} φ (r) r^{2} S (ω) d r = 4 π \int_{0}^{+ \infty} φ (r) r^{2} \d r .

令 $φ_{ε} (x) = \frac{1}{ε^{n}} φ (\frac{x}{ε})$ ，则 $\supp φ_{ε} \subset B_{ε} (0)$ ，且 $\int_{R^{n}} φ_{ε} (x) \d x = 1$ .

Claim

$u = u * φ_{ε}$ ， $\exists ε$ 充分小．

事实上，

\begin{aligned} \int_{R^{n}} φ_{ε} (x - y) u (y) d y & \overset{\supp}{=} \int_{B_{ε} (x)} φ_{ε} (x - y) u (y) \d y \\ = \int_{B_{ε} (x)} \frac{1}{ε^{n}} φ (\frac{y - x}{ε}) u (y) \d y \\ \overset{y - x = ε z}{=} \int_{| z | < 1} \frac{1}{ε^{n}} φ (z) u (x + ε z) ε^{n} \d z \\ = \int_{| z | < 1} φ (z) u (x + ε z) \d z \\ \overset{\supp}{=} \int_{R^{n}} φ (z) u (x + ε z) \d z \\ = \int_{0}^{+ \infty} \int_{| ω | = 1} φ (r) u (ε r ω) r^{2} \d S_{ω} \d r \\ = \int_{0}^{+ \infty} φ (r) r^{2} \int_{| ω | = 1} u (x + ε r ω) \d S_{ω} \d r \\ \overset{平均值}{=} \int_{0}^{+ \infty} φ (r) r^{2} 4 π u (x) \d r \\ = u (x) . \end{aligned}

由 Claim，从而 $u * φ_{ε} = u$ ，而 $φ_{ε}$ 光滑，故 $u$ 光滑．

定理：Harnack 不等式

$\forall V$ 为 $Ω$ 上连通紧集， $\exists$ 一个仅与距离 $d (V, \partial Ω)$ 和维数 $n$ 有关的 $C > 0$ ，使得

sup_{V} u \leq C inf_{V} u .

$\forall u$ 非负调和．特别地， $\forall x, y \in V$ ，有

\frac{1}{C} u (y) \leq u (x) \leq C u (y) .

证明

第一步：对特定距离，取出一个满足条件的开球

取 $r < \frac{1}{4} d (V, \partial Ω)$ ， $x$ 给定，则 $\forall y \in B_{r} (x)$ ， $B_{r} (x) \subset B_{2 r} (y) \subset Ω$ ．

由平均值性质

u (y) = \frac{1}{| B_{2 r} (y) |} \int_{B_{2 r} (y)} u (z) \d z = \frac{1}{| B_{2 r} (y) |} \int_{B_{2 r} (y)} u (z) \d z \geq \frac{1}{| B_{2 r} (y) |} \int_{B_{r} (x)} u (z) \d z = \frac{1}{2^{n}} u (x) .

第二步：定义域是紧集，取有限开覆盖

所有的 $B_{r} (x)$ 构成 $V$ 的开覆盖，存在有限子覆盖

V \subset ⋃_{i = 1}^{N} B (x_{i}, r) .

由连通，取一组球将一个点连到另一个点，由第一步知 $u (y) \geq \frac{1}{2^{n N}} u (y)$ ．

梯度估计

若 $u \in C (B_{R} (x_{0}))$ 调和，则 $| \nabla u (x_{0}) | \leq \frac{n}{R} max_{B_{R} (x_{0})} u$ ．

证明

若 $u$ 调和，则光滑，从而 $u_{i}$ 也调和．由平均值定理

\begin{aligned} u_{i} & = \frac{1}{| B_{R} (x) |} \int_{B_{R} (x)} u_{i} (y) \d y \\ \overset{{\vec{u}}^{(i)} = u {\hat{x}}_{i}}{=} \frac{1}{| B_{R} (x) |} \int_{B_{R} (x)} \nabla \cdot {\vec{u}}^{(i)} d y \\ \overset{散度定理}{=} \frac{1}{| B_{R} (x) |} \int_{\partial B_{R} (x)} {\vec{u}}^{(i)} \cdot d \vec{S} \\ \overset{法向量式}{=} \frac{1}{| B_{R} (x) |} \int_{\partial B_{R} (x)} {\vec{u}}^{(i)} \cdot {\vec{n}}_{i} \d S \\ = \frac{1}{| B_{R} (x) |} \int_{\partial B_{R} (x)} | u | d S \\ \leq \frac{| \partial B_{R} (x) |}{| B_{R} (x) |} max | u | \leq \frac{3}{R} max u . \end{aligned}

2 维同理．

推论：Liouville 定理

若 $u$ 为 $R^{n}$ 上的有界调和函数，则 $u$ 为常数．

证明： $| \nabla u | \leq lim_{R \to + \infty} \frac{C}{R} max u$ ．